TARİH :

DERS : Matematik

KONU : Doğal Sayılar Kümesinde Çarpma İşlemi

İŞLEYİŞ :

Yukarıdaki resimde kaç tane kardan adam olduğunu bulmak için;

2 + 2 + 2 + 2 +2 ; 5 tane 2 yi toplarız. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 bulunur. Aynı işlemi şu şekilde de yapabiliriz.

5 x 2 = 10 . O halde

Çarpım

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 x 2 = 10

Çarpan Çarpan

Çarpma işlemi; aynı sayıların toplama işleminin kısa yoldan yapılışıdır.

Toplama işlemi ileriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. 5 tane 2’yi toplayalım.

2 + 2 + 2 + 2 + 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 . . .

Örnek : 3 x 7 = 7 + 7 + 7 = 21

1. işlem; 7 x 9 = 63 ; 3 yazılır 6 onlar basamağına ilave edilir.

2. işlem; 7 x 8 = 56 ; 56 ya 6 eklenir. 56 + 6 = 62 ; 2 yazılır 6 sonraki basamağa(yüzler) ilave edilir.

3. işlem; 7 x 2 = 14 ; 14 e 6 eklenir. 14 + 6 = 20 ; aynı şekilde sonuca yazılır.

Örnek: 289 sayısı ile 7 yi çarpalım. 2 8 9

x 7

2 0 2 3

Örnek: Tanesi 15 TL den 6 düzine kalem alan bir kişini kaç TL harcamış olur?

Çözüm: 1 düzine = 12 tane 12 x 6 = 72 tane kalem; 72 x 15 = 1080 TL

Örnek: 3781 ile 1002 sayılarının çarpımını bulalım?

Çarpanlardan birinin ara basamağında bulunan sıfır ile çarpma yapılmaz , sonraki çarpmanın sonucu bir basamak sola kaydırılır.

Çözüm: 3 7 8 1

x 1 0 0 2

Herhangi bir doğal sayıyı 10 ve 10’un katları ile çarpmak için bir işlem yapmaya gerek yoktur. Sadece diğer çarpanın yanına 10 sayısının kuvveti(sıfır sayısı) kadar sıfır yazılır.

Örnek: 7 sayısını sırasıyla 10 , 100 , 1 000 , 10 000 , 100 000 , 1 000 000 sayıları ile çarpın?

Çözüm: 7 x 10 = 70 yada 7 x 10¹ = 70 7 x 10 000 = 70 000 yada 7 x 10⁴ = 70 000

7 x 100 = 700 yada 7 x 10² = 700 7 x 100 000 = 700 000 yada 7 x 10³ = 700 000

7 x 1 000 = 7 000 yada 7 x 10³ = 7 000 7 x 1 000 000 = 7 000 000 yada 7 x 10³ = 7 000 000

Çarpılan doğal sayıların son basamaklarında sıfır varsa, bu basamaklar dikkate alınmadan çarpma yapılır, sonra aynı sayıda sıfır, çarpımın sağına yazılır.

Örnek: 2410

         1205

   x 241.

                     x 1050

İkiden fazla doğal sayı çarpılırken ikişer ikişer gruplara ayrılarak çarpma işlemi yapılır.

Örnek: 5 x 19 x 3 x 25 x 8 = ?

Çözüm: (5 x 19) x (3 x 25) x 8 =

95 x ( 75 x 8) = 95 x 600 = 57000

b = 0 olsaydı satır   yazılmazdı.

            1 c 9 0

        + 2 3 d

Örnek:   Yandaki çarpma işleminde verilmeyen rakamları bulunuz?           2 a 8

x 1 b

   e 5 7 0

Çözüm: b x 8 = .0 olduğundan b = 0 veya b = 5 olur.

a x 1 = 3 olduğundan a = 3 olur.

235 x 5 = 1190 olduğundan c = 1

1 x 8 = d ise d = 8

1190 + 238 = 3570 ise e = 3

Çarpma İşleminin Özelikleri:

IN = {0,1,2,3,4 , ...}doğal sayılar kümesinde hangi iki sayıyı alırsak alalım çarpımları yine bir doğal sayıdır.

Mesela; 5 Î IN , 8 Î IN ise 5 x 8 = 40 Î IN; a,b Î IN ve a x b = c ise c Î IN

Değişme Özeliği: İki doğal sayının çarpımında; çarpanlar yer değiştirebilir.

Mesela 5 x 8 = 40 a,b Î IN ve a x b = b x a

8 x 5 = 40

Birleşme Özeliği: Üç doğal sayının çarpımını bulurken, ilk iki sayının III. sayı ile çarpımı, son iki sayının I. sayı ile çarpımına eşittir.Mesela (2 x 5) x 8 = 10 x 8 = 80 a,b,c Î IN ve( a x b) x c = a x (b x c)

2 x (5 x 8) = 2 x 40 = 80

Etkisiz Eleman: Herhangi bir doğal sayının 1 ile çarpımı, o sayının kendisidir. O halde 1 çarpma işleminin etkisiz elemanındır. Mesela; 1 x 5 = 5 x 1 = 5 a Î IN ise a x 1 = 1 x a = a

Yutan Eleman: Bir doğal sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. “0” yutan çarpma işleminin yutan elemanıdır.

Mesela; 0 x 5 = 5 x 0 = 0 a Î IN ise a x 0 = 0 x a = 0

Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özeliği:

Bize verilen 3 x ( 5 + 4) işlemini 2 yoldan çözebiliriz.