TARİH :          13-14 / 09 / 2000

SINIF :            6/A ; 6/B ; 6/C

SÜRE :            1 Ders Saati  ( 40’ )

DERS :            Matematik      

KONU :          Kümeler Arasındaki İlişkiler

AMAÇ :          Kümeler Arasındaki İlişkileri Kavrayabilme

 

İŞLEYİŞ :

 

Küme ve Eleman :

Canlı veya cansız varlıkların veya varlıkların yerine geçen sembollerin oluşturduğu topluluğa “Küme” denir.      

Örneğin;  kalem kutusundaki eşyalar; kalem, silgi, cetvel, pergel  bir küme oluşturur.

6/A sınıfındaki öğrenciler bir küme oluşturur. Haftanın günleri...

Kümeyi oluşturan varlık veya sembollerin kesin olarak belirtilmelidir. Haftanın bazı günleri ifadesi bir küme belirtmez.

Bir kümeyi oluşturan varlıkların veya sembollerin herbirine “ Eleman ” denir. 

Kalem kutusu bir küme ise kalem, silgi, cetvel, pergel bu kümenin elemanlarıdır.

 

Bir Kümenin Gösterimi :

Kümeleri üç değişik biçimde gösterebiliriz. Bunlar 1- Şema gösterimi

2- Liste yöntemi

                                                                                  3- Ortak özellik yöntemi

1-Şema Yöntemi ile Gösterme : (Venn Şeması)

Kümelerin elemanları kapalı bir eğri içerisine alınır. Kümenin adı; büyük harfle; kapalı eğrinin dışına yazılır. Kümeye ait olmayan eleman eğrinin dışında kalır. Yazılan herbir elemana bir nokta karşılık gelmelidir.                                   A

                                    . 1                               Elemanlar  Π   işareti ile gösterilir.                  

                                               2 .                    1 Î A ; 2 Î A ; 3 Î A ; 4 Î A

                                       . 3                            5 Ï A ;  a Ï A

       4 .

                                         

 

2- Liste Yöntemi ile Gösterme :

Bir kümeyi herzaman şema ile göstermek zor olabilir. Bu nedenle liste yöntemi kullanılır. Liste yöntemiyle gösterimde; kümenin elemanları “{ }” biçimineki küme parantezi içine; aralarına virgül “( , )” konularak yazılır. Herbir eleman sadece bir kere yazılır.

A={1,2,3,4} elemanların sıralaması önemli değildir.      A kümesi;

A={2,3,4,1} şeklindede yazılabilir.

 

Örnek:  ANKARA kelimesindeki harflerden oluşan kümeyi liste yöntemi ile yazınız.

A={A,N,K,R} Dikkat ettiğiniz gibi A harfi sadece bir kez yazılır.

 

3- Ortak Özellik Yöntemi ile Gösterme :

Bir kümenin elemenlerının ortak bir özelliği varsa, bu özellik küme parantezi içine yazılır.

Mesela A kümesi 6/A sınıfı öğrencileri olsun. Bu kümenin elemanlar liste veya şema yöntemi ile teker teker yazılabildiği gibi ortak özellik gösterimi ile A={6/A sınıfı öğrencileri}şeklinde de gösterilebilir.

 

 

Boş Küme :

Hiçbir elemanı olmayan kümeye “Boş Küme” denir. Boş Küme { } yada  Æ  semboluyle gösterilir.

Örneğin; Ğ ile başlayan şehirlerimiz; A= { }

 

 

 

Bir Kümenin Eleman Sayısı :

 

                                                                A   

 

 

 

Kümenin herbir elemanına sayı doğrusu üzerinde    bir doğal sayı karşılık gelir. A Kümesinin eleman sayısı s(A) sembolü ile gösterilir.

 

A = { a, b, c } ise s(A) = 3  tir.

B = { 6/A sınıfı öğrencileri}  ise s(B) = 15  tir.

Boş kümenin eleman sayısı sıfırdır.

C = {Üç ayaklı hayvanlar} ise s(C) = 0  dır.

D = { Æ } ise s(D) = 1  dir.     E = {0} ise s(E) = 1 dir.          F = { } ise s(F) = 0 dır.

 

Örnek:   A = {Ali, Mehmet, Ayşe, Gül, Ahmet İhsan} ise s(A) = 5  tir.

 

                       

  Ders Öğretmeni

              Kemal Karataş                                                                                                                                                       

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eşit Kümeler :

Aynı elemanlardan oluşan kümeye “Eşit Kümeler” denir.

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 1, 3}   ise  A = B

Örnek:  A = {Pzt, Salı, Çar, Per, Cuma, Cts, Pz}

              B = {Haftanın günleri} ise A = B

C = {a, b, c, d}

D = {a, b, c}  ise  C ¹ D

Denk Kümeler :

Eleman sayıları eşit olan kümelere “Denk Kümeler“ denir. Denklik sembolü “ º” dir.

A = {D, ·, ð}  ve  B = {1, 2, 3} ise  A º B  dir. Çünkü s(A) =  s(B) = 3

A = {D, ·, ð}  ve  B = {1, 2}  ise  A º B  dir. Çünkü s(A) = 3 ;  s(B) = 2 

Not :  Eşit kümeler aynı zamanda denktir.

Örneğin; A = {1, 2, 3} ve B = {3, 2, 1} ise A = B

              Aynı zamanda s(A) = s(B) olduğundan denktir. A      º B

Denk kümeler eşit olmayabilir.

Örneğin; A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c}  ise A º B dir.

Ama elemanlar birbirinden farklı olduğu için  A ¹ B

Alt Küme ve Kapsama:

A ve B iki küme olsun. A kümesinin  bütün elemanları B kümesinin de elemanları ise “A kümesine B kümesinin alt kümesi” denir. Bu durum A Ì B şeklinde gösterilir.

Yukarıdaki durum aynı zamanda  “B kümesi A kümesini kapsar” şeklinde ifade edilir. Bu ise B É A şeklinde gösterilir.

Örnek :

A = {6/A sınıfı öğrencileri}

B = {Özel Ufuk Koleji öğrencileri}

Görüldüğü gibi A kümesinin bütün elemanları aynı zamanda B kümesininde elemanlarıdırlar. Öyleyse

A Ì B  veya   B É A dir.                                 B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Örnek :

A = {Pzt, Salı, Çar}

B = {Haftanın günleri}

C = {Ocak, Şubat, Mart} kümeleri arasındaki alt küme ve kapsama ilişkilerini yazınız.

Önce Venn şemasında gösterelim.

                                                        B                                                 C                                         

 

 

 

 

 

A kümesi B kümesinin alt kümesidir.  A Ì B                B kümesi A kümesini kapsar.        B É A

C kümesi B kümesinin alt kümesi değildir.  C Ë B                    B kümesi A kümesini kapsamaz.   B É C

 

                                                                                                                      Kemal KARATAŞ