TARİH :          18-19 / 09 / 2000

SINIF :            6/A ; 6/B ; 6/C

SÜRE :            1 Ders Saati  ( 40’ )

DERS :            Matematik      

KONU :          Kümeler Arasındaki İlişkiler

AMAÇ :          Kümeler Arasındaki İlişkileri Kavrayabilme

 

İŞLEYİŞ :

 

Eşit Kümeler :

Aynı elemanlardan oluşan kümelere “Eşit Kümeler” denir.

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 1, 3}   ise  A = B

Örnek:  A = {Pzt, Salı, Çar, Per, Cuma, Cts, Pz}

              B = {Haftanın günleri} ise A = B

C = {a, b, c, d}

D = {a, b, c}  ise  C ¹ D

 

Denk Kümeler :

Eleman sayıları eşit olan kümelere “Denk Kümeler“ denir. Denklik sembolü “ º” dir.

A = {D, ·, ð}  ve  B = {1, 2, 3} ise  A º B  dir. Çünkü s(A) =  s(B) = 3

A = {D, ·, ð}  ve  B = {1, 2}  ise  A º B  dir. Çünkü s(A) = 3 ;  s(B) = 2 

Not :  Eşit kümeler aynı zamanda denktir.

Örneğin; A = {1, 2, 3} ve B = {3, 2, 1} ise A = B

              Aynı zamanda s(A) = s(B) olduğundan denktir. A      º B

Denk kümeler eşit olmayabilir.

Örneğin; A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c}  ise A º B dir.

Ama elemanlar birbirinden farklı olduğu için  A ¹ B

 

Alt Küme ve Kapsama:

A ve B iki küme olsun. A kümesinin  bütün elemanları B kümesinin de elemanları ise “A kümesine B kümesinin alt kümesi” denir. Bu durum A Ì B şeklinde gösterilir.

Yukarıdaki durum aynı zamanda  “B kümesi A kümesini kapsar” şeklinde ifade edilir. Bu ise B É A şeklinde gösterilir.

Örnek :

A = {6/A sınıfı öğrencileri}

B = {Özel Ufuk Koleji öğrencileri}

Görüldüğü gibi A kümesinin bütün elemanları aynı zamanda B kümesininde elemanlarıdırlar. Öyleyse

B

A Ì B  veya   B É A dir.                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Örnek :

A = {Pzt, Salı, Çar}

B = {Haftanın günleri}

C = {Ocak, Şubat, Mart} kümeleri arasındaki alt küme ve kapsama ilişkilerini yazınız.

Önce Venn şemasında gösterelim.

                                                               B                             C                                          

 

 

 

 

 

 

 

A kümesi B kümesinin alt kümesidir.  A Ì B                B kümesi A kümesini kapsar.        B É A

C kümesi B kümesinin alt kümesi değildir.  C Ë B                    B kümesi C kümesini kapsamaz.   B É C

 

Bir Kümenin Alt Kümelerini Yazma :

A = { 1, 2 } kümesinin alt kümelerini yazalım. A kümesi 2 elemanlı olduğu için alt kümeleri  0, 1 veya 2 elemanlı olabilir. Çünkü

a-      Boş Küme her kümenin alt kümesidir.        Æ Ì A

b-     Her küme kendisinin alt kümesidir. A  Ì A

Buna göre A= { 1, 2 }kümesinin;

0 elemanlı alt kümesi                Æ           1 elemanlı alt kümeleri     {1} ve {2}

2 elemanlı alt kümesi               {1,2} dır.  2 elemanlı A kümesinin alt kümesi sayısı 4 dür.

                                     A

E

B

C

D

                                               Venn şemasında görüldüğü gibi 

                                               B =  Æ    Ì  A                       

                                               C = {1}   Ì  A                        Not :  1 Î A   

                                               D = {2}   Ì  A                    {1}Ì A                                      

                                               E = {1,2} Ì  A  olur.

 

Örnek:  A = {a,b,c} kümesinin alt kümelerini yazınız?

A kümesi 3 elemanlı  olduğundan alt kümeleri  0,1,2 veya 3 elemalı olabilir.

0 elemanlı alt küme                     Æ                  1 elemanlı alt kümeler   {a} ; {b} ; {c}

2 elemanlı alt kümeler  {a,b};{a,c};{b,c}     3 elemanlı alt küme             {a,b,c}

 

            Buna göre 3 elemanlı A kümesinin alt küme sayısı 8 dir.

Örnek:   A = {1,2,3,4} kümesinin alt kümelerini yazınız?

Küme 4 elemanlı olduğundan alt kümeleri 0,1,2,3 veya 4 elemanlı olabilir.

0 elemanlı alt kümesi                Æ      

1 elemanlı alt kümeleri     {1};{2};{3};{4}

2 elemanlı alt kümeleri     {1,2};{1,3};{1,4};{2,3};{2,4};{3,4} 

3 elemanlı alt kümeleri     {1,2,3};{1,2,4};{1,3,4};{2,3,4}       

4 elemanlı alt kümesi           {1,2,3,4} 

            Buna göre 4 elemanlı A kümesinin alt küme sayısı 16 dır.

Küme 2 elemanlı ise alt küme sayısı      4                      2 x 2 = 4         2 elemanlı olduğu için 2 kere çarpıldı

Küme 3 elemanlı ise alt küme sayısı      8                2 x 2 x 2 = 8          3 elemanlı olduğu için 3 kere çarpıldı

Küme 4 elemanlı ise alt küme sayısı      16        2 x 2 x 2 x 2 = 16        4 elemanlı olduğu için 4 kere çarpıldı

 

 

Ders Öğretmeni

Kemal Karataş